▩ 개 요

‘클라라 그리마(Clara Grima)’의 ‘수학이 일상에서 이렇게 쓸모 있을 줄이야’ (원제: ¡Que las matemáticas te acompañen!)는 일상생활의 다양한 현상 속에 숨겨진 수학의 원리를 유쾌하게 파헤치는 수학 교양서이다. 이 책은 수학에 막연한 거부감을 가진 사람들에게 “수학은 지루한 반복이 아니라 세상을 설명하는 언어이자 경이로운 놀이”임을 깨닫게 하는 데 목표를 두고 있다.

▩ 책의 핵심 주제 및 구성

책은 총 50가지의 엉뚱하고 발랄한 이야기를 통해 우리 삶의 아주 사소하고 일상적인 순간부터 첨단 기술에 이르기까지, 수학이 어떻게 깊숙이 관여하는지를 보여준다.

1. 수학은 일상의 함정에서 우리를 구한다 (1부)

우리가 흔히 접하는 현상이나 잘못된 믿음 속에 숨어 있는 확률과 논리의 함정을 파헤친다.

• 주요 내용: 페이스북 추천 알고리즘의 진실, 소파를 좁은 복도로 끌어내는 방법(기하학), 일기 예보가 가능한 이유(카오스 이론), 예방 접종의 중요성(감염병 모델) 등.

2. 엉뚱한 예측을 멈추게 한다 (2부)

스포츠 승부 예측, 투자, 게임 등 불확실한 상황을 수학적으로 분석하고 확률적 사고의 중요성을 강조합니다.

• 주요 내용: 스포츠 경기의 승패 예측, GPS 작동 원리, 쓰나미 대피 계획, 주식 투자를 하기 전에 던져봐야 할 주사위(확률과 통계) 등.

3. 수학이 어렵다는 편견을 깬다 (3부)

일상 속 물건이나 취미, 기술 등에 녹아있는 재미있는 수학적 개념을 소개하여 수학에 대한 심리적 장벽을 낮춘다.

• 주요 내용: 주차할 때 필요한 가케야 바늘 문제(기하학), 도넛과 재봉틀이 공유하는 위상수학, JPEG 파일 압축 기술의 수학적 원리 등.

4. 우리의 삶과 사회를 움직이는 숨은 힘 (4부, 5부)

데이터, 알고리즘, 복잡계 등 현대 사회와 기술을 지배하는 수학의 거대한 영향력을 설명한다.

• 주요 내용: 택배 기사와 환경미화원의 경로 최적화(그래프 이론), 지하철 노선도의 위상학적 비밀, 구글 검색 알고리즘의 선형대수학, 몬테카를로 카지노의 확률적 오류 등.

▩ 결 론

이 책은 수학 공식을 풀이하기보다는, 수학적 사고방식을 통해 세상을 더 깊이 이해하고 합리적으로 판단할 수 있는 능력을 키워줄 수 있다는 메시지를 전달한다.

▩ Contents <<< [수학이 일상에서 이렇게 쓸모 있을 줄이야]

1부. 수학으로 일상 속 함정에서 빠져나오자

• 1. 페이스북을 믿지 마세요!
• 2. 수학을 알면 피카소가 될 수 있다
• 3. 드라마 속 진짜 주인공은 따로 있다!
• 4. 신발 끈을 매다 문득 궁금해졌다
• 5. 소파를 복도로 끌어내는 법
• 6. 뻔한 조언을 무시해도 되는 이유
• 7. 수학을 포기하면 언젠가는 위험해진다
• 8. 과연 일기 ‘예보’는 가능할까?
• 9. 예방 접종을 무시하면 어떻게 될까?
• 10. 소리만으로 북 모양 맞히기

2부. 엉뚱한 예측은 이제 그만하자

• 11. 남녀가 함께 살 때 알아야 할 것들
• 12. ‘수학적’으로 게임하기
• 13. 레알 마드리드 vs 아틀레티코, 과연 승자는?
• 14. 길을 잃지 않으려면 인공위성 몇 개가 필요할까?
• 15. 쓰나미가 밀려오면 어디로 가야 할까?
• 16. 풍선으로 상금 백만 달러를 받는 방법
• 17. 줄 서기만 잘해도 월가에 입사할 수 있다고?
• 18. 주식 투자를 하기 전에 주사위부터 던져보자
• 19. 비둘기, 머리카락, 그리고 의자
• 20. 참이냐, 거짓이냐, 기준이 문제로다

3부. 수학이 어렵다고 투덜대기 전에!

• 21. 가케야 바늘로 주차하기
• 22. 파도타기 응원을 과학적으로 접근하면
• 23. 파티에서 당신과 인사한 사람의 수는?
• 24. JPEG 파일과 셀카에 관하여
• 25. 스도쿠로 아는 체 좀 하고 싶다면?
• 26. 선물 포장지 아끼는 방법
• 27. 도넛과 재봉틀이 무슨 상관일까?
• 28. 바이러스는 왜 하필 이십면체일까?
• 29. 엄마보다 정리를 잘할 수는 없겠지만
• 30. 트위터로 실업률을 알 수 있다고?

4부. 비록 수학이 당신의 삶을 바꾸지는 못하겠지만

• 31. 줄무늬 셔츠를 입고 사진 찍을 때
• 32. 셰익스피어도 사랑한 명제 퀴즈
• 33. 올라가고 내려가고, 경매 호가의 유형
• 34. 유리병 속 사탕은 몇 개일까?
• 35. 사람보다 똑똑한 비둘기
• 36. 얌체 같은 가짜 계정 귀신같이 알아내기
• 37. 전선을 끊기 전에 생각할 것들
• 38. 환경미화원과 택배기사는 어디로 다닐까?
• 39. 비슷한 꼴은 죽어도 못 참겠다면
• 40. 인과관계는 상관관계를 수반하지만 그 반대는 성립하지 않는다

5부. 실수와 무리수를 즐기는 그날까지

• 41. 지하철 노선도마저 수학이라니
• 42. 점점 더 발붙일 곳 없어지는 지구
• 43. 점쟁이 문어보다 신통한 수학
• 44. 비행기는 정말 직선으로 운항할까?
• 45. 알고리즘 기원이 개미라니!
• 46. 구글은 수학으로부터 시작됐다
• 47. 상자로 정확하게 계량하는 방법
• 48. 엘리베이터 앞에서 더 이상 날씨 이야기는 하지 말자
• 49. 그날 밤 몬테카를로에서 무슨 일이 있었나?
• 50. 백악관을 농락한 그 남자

▩ 인용글(Quoted Passage) <<< [수학이 일상에서 이렇게 쓸모 있을 줄이야]

과학을 생각한다면 이미 한 걸음 뗀 것이다.
이루어진 일을 기억한다면 그 일이 가능하다는 걸 배울 수 있고
성공에 대한 희망이 있으면 노력을 배가시킨다.
– 소피 제르맹

권력은 소수의 엘리트가 차질할 것이다.
권력이 그들 손에 들어가는 이유는 그들은 수학을 알고 당신은 모르기 때문이다.
– 에드워드 프렌켈

‘수학을 배우고 이해하는 것을 국가적 당면과제’로 삼아도 부족하지 않다.
– 세드릭 빌라니

SNS 이용자라면 누구나 선겨 결과에 뒤통수 맞아본 적이 있을 것이다.
페이스북 담벼락이나 타임라인을 보면 세상 사람 모두 나랑 같은 후보를 지지하는 것처럼 보인다.
하지만 뚜껑을 열어보니 그렇지 않다면?
그건 ‘다수의 착각’에 빠졌기 때문이다.
– 페이스북을 믿지 마세요

답을 알고 싶다면 두 눈을 뜨고 선들을 살펴보자. 베지어 곡선이 보이는가?
– 수학을 알면 피카소가 될 수 있다

비록 드라마나 책을 직접 본 것은 아니라도 ‘왕자의 게임’에 대해 한 번도 못 들어본 사람은 없을 것이다.
그런데 이 소문도 들어보았는가?
최근 발표된 수학 논문에 따르면 놀랍게도 주인공은 대너리스 타르가르옌이 아니라는데…
– 드라마속 주인공은 따로 있다

자고로 수학자는 신발 끈을 조이는 순간에도 고민에 빠지는 그런 부류의 사람들이다.
그 고민이란 바로 끈을 매는 ‘방법’에 관한 것이다!
신발 끈 매는 법은 과연 몇 가지나 존재할까? 그리고 그중 최선은 무엇일까?
– 12 팩토리얼 = 479,001,600(방법의 숫자)

남더러 이래라저래라 훈수 두는 사람치고 제 앞가림 잘하는 사람 없다던가?
맞는 말이다. 때로는 남의 말 안 듣는 사람이 문제를 더 빨리 해결한다.
이건 수학적을도 증명된 사실이다.
– 뻔한 조언을 무시해도 되는 이유

내 아이디어는 논리적으로 안전무결하다.
한 가지 흠이 있다면 과거엔 아무도 이런 생각을 한 적이 없다는 것이다.
– 안토니 가우디

수학을 포기하면 종종 몰상식한 선택을 하게 된다.
금융상품을 고르거나 건강검진 결과를 들을 때는 특히 더 위험하다. 한 가지 예를 들어 살펴보자.
– 수학을 포기하면 언젠가는 위험해진다

사람들은 기상청의 예보 실수를 심심풀이 땅콩처럼 놀려댄다.
들어맞으리라는 기대도 딱히 하지 않는다.
그런데 날씨 ‘예보’가 말처럼 쉬운 걸까?
그렇다면 수학자와 물리학자들이 아직도 정확한 예보 공식을 찾지 못한 까닭은 무엇일까?
– 과연 일기예보는 가능할까

삶이 여자들의 취통수를 치는 순간이 있다.
남자와 함께 살면서 뜻밖의 입수를 하게 될 때도 그렇다.
오밤중에 엉덩이를 변기에 붙이려다 풍덩 빠지고 마는 불상사 말이다.
한두 번이야 웃어넘기지만 시간이 갈수록 입꼬리 대신 눈꼬리가 올라가기 마련이다.
– 남녀가 함께 살 때 알아야 할 것들

마드리드 거주자 중 머리카락 개수가 똑같은 사람이 둘 이상 있을까, 없을까?
이런 질문을 받는다면 ‘틀림없이 있다’에 아낌없이 한 표를 던져라.
물론 남의 머리카락을 올올이 세는 취미 따위는 없겠지만,
비둘기집의 원리를 알면 굳이 세지 않아도 알 수 있다.
– 비둘기, 머리카락, 그리고 의자

우리는 완전히 객관적이라고는 할 수 없는 정보 속에서 살아간다.
사실을 있는 그대로 계량화할 만한 적당한 도구가 없어서다.
하지만 때로는 정확한 도구가 있음에도 굳이 왜곡된 정보를 퍼뜨리는 얄궂은 일도 벌어진다.
– 참니냐, 거짓이냐, 기준이 문제로다

뒤뚱대는 비둘기가 한심해 보일 때가 많지만,
이 새가 가진 놀라운 능력은 인정하지 않을 수 없다.
심리학 연구에 따르면 인간보다 영리할 때가 있단다.
특히 모티 홀 딜레마가 전공이라고…
– 사람보다 똑똑한 비둘기

4.5일 마다 인구는 100만명씩 증가함.
현재 70억명, 40년 후 140억명, 80년 후 280억명.
5세기 후 인구 무게는 지구 전체 중량과 맞먹는다.
– 인구 증가

봄바람이 불면 어김없이 찾아오는 따사로운 햇살, 꽃가루 알레르기, 그리고 개미들!
그런데 피크닉 바구니에 올라타는 요 성가신 개미가 알고 보면 놀라운 알고리즘의 기원이란다.
– 알고리즘 기원이 개미라니

동전을 던져 앞면이 나올 확율은 항상, 언제나, 매번 1/2 이다.
몇 번을 던지든 변함없다.
하지만 앞면이 n번 연속 나올 확율은 묻는다면 그건 1/2n 이 맞다.
– 앞면이 10번 연속 나올 확율은 1/1024

수학적

사고방식을 통해

세상을

더 깊이 이해하고

합리적으로

판단할 수 있는 능력

<< 수학이 일상에서 이렇게 쓸모 있을 중이야 >>

---

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▩ 개 요

헝가리 출신의 수학자 ‘조지 포여(George Pólya)’가 쓴 ‘어떻게 문제를 풀 것인가(How to Solve It)’는 모든 종류의 문제를 해결하는 논리적이고 체계적인 접근법(휴리스틱)을 제시하는 수학 교육학의 고전이다. 문제를 푸는 사고 과정을 훈련시키는 방법론을 담고 있다.

▩ 핵심 주제: 문제 해결을 위한 4단계 접근법

포여는 성공적인 문제 해결 과정에는 재능이나 우연이 아니라, 누구나 배울 수 있는 네 가지 단계가 존재한다고 주장한다. 이 네 단계는 단순히 수학 문제뿐만 아니라, 과학, 공학, 일상생활의 모든 문제를 해결하는 데 적용할 수 있는 보편적인 프레임워크를 제공한다.

1. 문제 이해 (Understanding the Problem)

문제를 풀기 시작하기 전에 무엇을 구해야 하는지, 조건이 무엇인지를 명확히 아는 것이 가장 중요하다.

• 핵심 질문: 구하는 것이 무엇인가? 주어진 정보는 무엇인가? 조건은 충분한가?

2. 계획 수립 (Devising a Plan)

이 단계는 가장 창의적인 부분으로, 문제를 해결하기 위한 전략과 방법을 모색한다.

• 주요 전략: 비슷한 문제를 풀어본 적이 있는가? 보조선을 긋거나 새로운 변수를 도입할 수 있는가? 목표(결론)부터 거꾸로 생각하는 역산(Working Backwards)은 가능한가?

3. 계획 실행 (Carrying out the Plan)

수립한 계획을 침착하고 체계적으로 실행하는 단계이다. 계획이 옳다고 확신하면, 실행하는 동안에는 그저 따라가며 각 단계가 정확한지 검토한다.

4. 되돌아보기 (Looking Back)

문제를 풀었다면, 그것이 끝이 아니다. 이 단계는 성장과 학습을 위해 가장 중요하다.

• 핵심 질문: 답이 합리적인가? 다른 방법으로도 풀 수 있는가? 이 결과를 다른 문제에 적용할 수 있는가? 이 문제를 통해 무엇을 배웠는가?

▩ 결 론

‘어떻게 문제를 풀 것인가’는 문제 해결을 위한 공식이나 해답을 제공하는 것이 아니라, ‘사고의 도구’를 제공하는 책이다. 독자들에게 ‘생각하는 방법’을 가르치고, 모든 사람이 가진 지적 호기심과 발견의 즐거움을 일깨워주는 교육 철학서로 평가받고 있다.

▩ Contents <<< [어떻게 문제를 풀 것인가]

제1부. 교실에서

• 목적
• 주요한 사고 단계와 주요한 발문
• 보기

제2부. 어떻게 문제를 풀 것인가

• 눈에 익히기
• 보다 이해를 잘하기 위한 활동
• 도움이 되는 아이디어 찾기
• 계획의 실행
• 반성

제3부. 발견술 소사전

• 현대적 발견술
• 미지인 것은 무엇인가?
• 미지인 것을 살펴보아라.
• 조건은 만족될 수 있는가?
• 그림을 그려 보아라.
• 조건을 여러 부분으로 분해하여라.
• 전에 그것을 본 일이 있는가?
• 관련된 문제를 알고 있는가?
• 관련된 문제로 전에 풀어 본 적이 있는 문제가 있구나
• 문제를 달리 진술할 수 있을까?
• 만일 제시된 문제를 풀 수 없다면
• 자료로부터 무언가 유용한 것을 이끌어낼 수 있을까?
• 자료는 모두 사용하였는가?
• 여러분의 예상을 검토하여라.
• 결과를 점검할 수 있는가?
• 결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가?
• 결과를 활용할 수 있는가?
• 거꾸로 연구하기
• 격언에 담긴 지혜
• 결의, 희망, 성공
• 교수 규칙
• 귀납과 수학적 귀납법
• 귀류법과 간접증명법
• 그림
• 기호
• 낡은 용어와 새로운 용어
• 대칭
• 답을 구하는 문제와 증명하는 문제
• 따름 정리
• 문제의 변형
• 반짝이는 아이디어
• 발견술
• 발견술에 따른 추리
• 발견의 규칙
• 발명가의 역설
• 방정식 세우기
• 보조 문제
• 보조 요소
• 보조 정리(Lemma)
• 분해와 재결합
• 수수께끼
• 실제적인 문제
• 실행
• 왜 증명을 하는가?
• 유추
• 일반화
• 잠재의식적 활동
• 장래의 수학자
• 전통적인 수학 교수
• 정의
• 조건
• 지혜로운 독자
• 지혜로운 문제 해결자
• 진단
• 진전과 성취
• 진전의 징후
• 특수화
• 틀에 박힌 문제
• 차원에 의한 검증
• 표현 규칙
• 현학과 정통
• 데카르트(1596~1650)
• 라이프니쯔(1646~1716)
• 버나드 볼짜노(1781~1848)
• 파푸스

제4부. 문제, 힌트, 풀이

• 문제
• 힌트
• 풀이

▩ 인용글(Quoted Passage) <<< [어떻게 문제를 풀 것인가]

이해 > 계획 > 실행 > 검증
– 사고의 4단계

눈에 익히기,
보다 이해를 잘 하기 위한 활동,
도움이 되는 아이디어 찾기,
계획의 실행,
반성.
– 문제를 어떻게 풀 것인가?

처음에 앞으로 연구해 나아가려고 시도하다가 후에 방향을 바꾼다는 아이디어에 이르렀다.
상황을 간단히 살펴본 후 방향을 바꾸어 돌진한 것은 옳든 그르든 뛰어난 통찰을 하는 인상을 주었다.
– 거꾸로 연구하기

격언을 보편적으로 적용할 수 있는 권위있는 지혜의 출처로 간주하는 것은 어리석은 일이다.
그러나 격언이 제공하는 발견적인 절차에 대한 생생한 기술을 무시하는 것은 애석한 일이다.
– 격언의 적용

잘못 이해하는 사람은 잘못 대답한다.
-라틴어 “Respice finem”

바보는 출발점을 주시하고 현인은 목표를 주시한다.
   현인은 목적지에서 시작하고 바보는 출발점에서 마친다.
뜻이 있는 곳에 길이 있다.
현인은 생각을 바꾼다. 바보는 결코 생각을 바꾸지 않는다.
뛰어 넘기 전에 살펴보아라. 믿기 전에 시험해 보아라. 현명한 지연이 길을 안전하게 한다.
– 문제 해결(관련 격언)

우리는 바라는 바를 이내 믿게 된다.
– 인간의 오류

계획을 실행할 때는 각 단계를 적절한 순서로 주의깊게 배열하여야 하는데 이는 흔히 생각해 낸 순서와 정반대이다.
<바보가 최후에 하는 것을 현인은 최초에 한다>
– 계획 실행

인간은 생각을 잘하지 못했다는 것을 다시 생각하지 않는다.
두 번째 생각이 최상의 것이다.
– 인간의 생각

문제를 해결한다는 것이 “지적인 것”이라고 생각하는 것은 잘못된 것이다.
– 지적인 것

가르치려고 하고 있는 것을 아는 것이다.
그리고,
가르치려고 하는 것보다 좀 더 많은 것을 아는 것이다.
– 교수 규칙

1+2+3+4+…..n = n(n+1)/2
– 귀납과 수학적 귀납법

행하도록 요구되는 것을 이미 한 것처럼 가정하라.
문제의 조건에 포함되는 모든 부분을 만족하는 것으로 생각되는 가정적인 그림을 그려보아라.
– 가정

대칭은 결과를 점검하는데 유용하다.
(yz+zx+xy)
– 대칭

답을 구하는 문제의 목적은 그 문제의 미지인 것을 발견하는 것
– quaesitum

탐정소설: 살인자
장기: 말의 움직임
수수께끼: 단어
초등수학: 수
기하학:도형
– 미지인 것

참, 거짓 구분하는 것.
– 증명하는 문제

1. 미지인 것은 무엇인가? 자료는 무엇인가? 조건은 무엇인가?
2. 조건을 여러 부분으로 분해하라.
3. 자료와 미지인 것 사이의 관련성을 찾아보아라.
4. 미지인 것을 살펴보아라! 친숙한 문제 중 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라.
5. 조건 가운데 일부분만 남기고 다른 것은 버려 보아라. 그랬을 때 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는가?
    미지인 것은 어떻게 변화하는가?
6. 자료로부터 무언가 유용한 것을 이끌어 낼 수 있을까?
7. 미지인 것을 결정하는 데 적절한 다른 자료를 생각해 볼 수 있을까?
새로운 미지인 것과 새로운 자료가 서로 보다 더 가깝게 되도록 하기 위해서,
미지인 것이나 자료 또는 필요하다면 두 가지 다 변형할 수 있을까?
8. 자료는 모두 사용했는가? 조건을 모두 사용했는가?
– 답을 구하는 문제

정의로 되돌아가기,
분해와 재결합,
보조 요소의 도입,
일반화,
특수화,
유추의 사용.
– 문제의 변형에는 전형적으로 유용하게 사용되는 양식

말로서 서술된 조건을 수학적 기호로 표현한다는 의미.
– 방정식을 세운다는 것

두 수를 구하라.
그 합은 78이고,
그 곱은 1296이다.
(국어)
x, y
x + y = 78
xy = 1296
(대수 언어)
– 합이 78이고 곱이 1296인 두 수를 구하라.

진리는 단순한 것 가운데 숨어 있다.
– Simplex sigillum veri

하룻밤 자면서 잘 생각하라.
오늘하고 싶지 않으면 내일 하는 것이 좋다.
– 잠재의식적 활동

분석은 계획을 세우는 것이고,
종합은 그 계획을 실행하는 것이다.
– 분석과 종합

지적 호기심과

발견의 즐거움을

일깨워주는

교육 철학

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