어떻게 문제를 풀 것인가

저자(Author) : 조지 포여 George Pólya

▩ 개 요

헝가리 출신의 수학자 ‘조지 포여(George Pólya)’가 쓴 ‘어떻게 문제를 풀 것인가(How to Solve It)’는 모든 종류의 문제를 해결하는 논리적이고 체계적인 접근법(휴리스틱)을 제시하는 수학 교육학의 고전이다. 문제를 푸는 사고 과정을 훈련시키는 방법론을 담고 있다.

▩ 핵심 주제: 문제 해결을 위한 4단계 접근법

포여는 성공적인 문제 해결 과정에는 재능이나 우연이 아니라, 누구나 배울 수 있는 네 가지 단계가 존재한다고 주장한다. 이 네 단계는 단순히 수학 문제뿐만 아니라, 과학, 공학, 일상생활의 모든 문제를 해결하는 데 적용할 수 있는 보편적인 프레임워크를 제공한다.

1. 문제 이해 (Understanding the Problem)

문제를 풀기 시작하기 전에 무엇을 구해야 하는지, 조건이 무엇인지를 명확히 아는 것이 가장 중요하다.

• 핵심 질문: 구하는 것이 무엇인가? 주어진 정보는 무엇인가? 조건은 충분한가?

2. 계획 수립 (Devising a Plan)

이 단계는 가장 창의적인 부분으로, 문제를 해결하기 위한 전략과 방법을 모색한다.

• 주요 전략: 비슷한 문제를 풀어본 적이 있는가? 보조선을 긋거나 새로운 변수를 도입할 수 있는가? 목표(결론)부터 거꾸로 생각하는 역산(Working Backwards)은 가능한가?

3. 계획 실행 (Carrying out the Plan)

수립한 계획을 침착하고 체계적으로 실행하는 단계이다. 계획이 옳다고 확신하면, 실행하는 동안에는 그저 따라가며 각 단계가 정확한지 검토한다.

4. 되돌아보기 (Looking Back)

문제를 풀었다면, 그것이 끝이 아니다. 이 단계는 성장과 학습을 위해 가장 중요하다.

• 핵심 질문: 답이 합리적인가? 다른 방법으로도 풀 수 있는가? 이 결과를 다른 문제에 적용할 수 있는가? 이 문제를 통해 무엇을 배웠는가?

▩ 결 론

‘어떻게 문제를 풀 것인가’는 문제 해결을 위한 공식이나 해답을 제공하는 것이 아니라, ‘사고의 도구’를 제공하는 책이다. 독자들에게 ‘생각하는 방법’을 가르치고, 모든 사람이 가진 지적 호기심과 발견의 즐거움을 일깨워주는 교육 철학서로 평가받고 있다.

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▩ Contents <<< [어떻게 문제를 풀 것인가]

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제1부. 교실에서

• 목적
• 주요한 사고 단계와 주요한 발문
• 보기

제2부. 어떻게 문제를 풀 것인가

• 눈에 익히기
• 보다 이해를 잘하기 위한 활동
• 도움이 되는 아이디어 찾기
• 계획의 실행
• 반성

제3부. 발견술 소사전

• 현대적 발견술
• 미지인 것은 무엇인가?
• 미지인 것을 살펴보아라.
• 조건은 만족될 수 있는가?
• 그림을 그려 보아라.
• 조건을 여러 부분으로 분해하여라.
• 전에 그것을 본 일이 있는가?
• 관련된 문제를 알고 있는가?
• 관련된 문제로 전에 풀어 본 적이 있는 문제가 있구나
• 문제를 달리 진술할 수 있을까?
• 만일 제시된 문제를 풀 수 없다면
• 자료로부터 무언가 유용한 것을 이끌어낼 수 있을까?
• 자료는 모두 사용하였는가?
• 여러분의 예상을 검토하여라.
• 결과를 점검할 수 있는가?
• 결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가?
• 결과를 활용할 수 있는가?
• 거꾸로 연구하기
• 격언에 담긴 지혜
• 결의, 희망, 성공
• 교수 규칙
• 귀납과 수학적 귀납법
• 귀류법과 간접증명법
• 그림
• 기호
• 낡은 용어와 새로운 용어
• 대칭
• 답을 구하는 문제와 증명하는 문제
• 따름 정리
• 문제의 변형
• 반짝이는 아이디어
• 발견술
• 발견술에 따른 추리
• 발견의 규칙
• 발명가의 역설
• 방정식 세우기
• 보조 문제
• 보조 요소
• 보조 정리(Lemma)
• 분해와 재결합
• 수수께끼
• 실제적인 문제
• 실행
• 왜 증명을 하는가?
• 유추
• 일반화
• 잠재의식적 활동
• 장래의 수학자
• 전통적인 수학 교수
• 정의
• 조건
• 지혜로운 독자
• 지혜로운 문제 해결자
• 진단
• 진전과 성취
• 진전의 징후
• 특수화
• 틀에 박힌 문제
• 차원에 의한 검증
• 표현 규칙
• 현학과 정통
• 데카르트(1596~1650)
• 라이프니쯔(1646~1716)
• 버나드 볼짜노(1781~1848)
• 파푸스

제4부. 문제, 힌트, 풀이

• 문제
• 힌트
• 풀이

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▩ 인용글(Quoted Passage) <<< [어떻게 문제를 풀 것인가]

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이해 > 계획 > 실행 > 검증
– 사고의 4단계

눈에 익히기,
보다 이해를 잘 하기 위한 활동,
도움이 되는 아이디어 찾기,
계획의 실행,
반성.
– 문제를 어떻게 풀 것인가?

처음에 앞으로 연구해 나아가려고 시도하다가 후에 방향을 바꾼다는 아이디어에 이르렀다.
상황을 간단히 살펴본 후 방향을 바꾸어 돌진한 것은 옳든 그르든 뛰어난 통찰을 하는 인상을 주었다.
– 거꾸로 연구하기

격언을 보편적으로 적용할 수 있는 권위있는 지혜의 출처로 간주하는 것은 어리석은 일이다.
그러나 격언이 제공하는 발견적인 절차에 대한 생생한 기술을 무시하는 것은 애석한 일이다.
– 격언의 적용

잘못 이해하는 사람은 잘못 대답한다.
-라틴어 “Respice finem”

바보는 출발점을 주시하고 현인은 목표를 주시한다.
   현인은 목적지에서 시작하고 바보는 출발점에서 마친다.
뜻이 있는 곳에 길이 있다.
현인은 생각을 바꾼다. 바보는 결코 생각을 바꾸지 않는다.
뛰어 넘기 전에 살펴보아라. 믿기 전에 시험해 보아라. 현명한 지연이 길을 안전하게 한다.
– 문제 해결(관련 격언)

우리는 바라는 바를 이내 믿게 된다.
– 인간의 오류

계획을 실행할 때는 각 단계를 적절한 순서로 주의깊게 배열하여야 하는데 이는 흔히 생각해 낸 순서와 정반대이다.
<바보가 최후에 하는 것을 현인은 최초에 한다>
– 계획 실행

인간은 생각을 잘하지 못했다는 것을 다시 생각하지 않는다.
두 번째 생각이 최상의 것이다.
– 인간의 생각

문제를 해결한다는 것이 “지적인 것”이라고 생각하는 것은 잘못된 것이다.
– 지적인 것

가르치려고 하고 있는 것을 아는 것이다.
그리고,
가르치려고 하는 것보다 좀 더 많은 것을 아는 것이다.
– 교수 규칙

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1+2+3+4+…..n = n(n+1)/2
– 귀납과 수학적 귀납법

행하도록 요구되는 것을 이미 한 것처럼 가정하라.
문제의 조건에 포함되는 모든 부분을 만족하는 것으로 생각되는 가정적인 그림을 그려보아라.
– 가정

대칭은 결과를 점검하는데 유용하다.
(yz+zx+xy)
– 대칭

답을 구하는 문제의 목적은 그 문제의 미지인 것을 발견하는 것
– quaesitum

탐정소설: 살인자
장기: 말의 움직임
수수께끼: 단어
초등수학: 수
기하학:도형
– 미지인 것

참, 거짓 구분하는 것.
– 증명하는 문제

1. 미지인 것은 무엇인가? 자료는 무엇인가? 조건은 무엇인가?
2. 조건을 여러 부분으로 분해하라.
3. 자료와 미지인 것 사이의 관련성을 찾아보아라.
4. 미지인 것을 살펴보아라! 친숙한 문제 중 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라.
5. 조건 가운데 일부분만 남기고 다른 것은 버려 보아라. 그랬을 때 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는가?
    미지인 것은 어떻게 변화하는가?
6. 자료로부터 무언가 유용한 것을 이끌어 낼 수 있을까?
7. 미지인 것을 결정하는 데 적절한 다른 자료를 생각해 볼 수 있을까?
새로운 미지인 것과 새로운 자료가 서로 보다 더 가깝게 되도록 하기 위해서,
미지인 것이나 자료 또는 필요하다면 두 가지 다 변형할 수 있을까?
8. 자료는 모두 사용했는가? 조건을 모두 사용했는가?
– 답을 구하는 문제

정의로 되돌아가기,
분해와 재결합,
보조 요소의 도입,
일반화,
특수화,
유추의 사용.
– 문제의 변형에는 전형적으로 유용하게 사용되는 양식

말로서 서술된 조건을 수학적 기호로 표현한다는 의미.
– 방정식을 세운다는 것

두 수를 구하라.
그 합은 78이고,
그 곱은 1296이다.
(국어)
x, y
x + y = 78
xy = 1296
(대수 언어)
– 합이 78이고 곱이 1296인 두 수를 구하라.

진리는 단순한 것 가운데 숨어 있다.
– Simplex sigillum veri

하룻밤 자면서 잘 생각하라.
오늘하고 싶지 않으면 내일 하는 것이 좋다.
– 잠재의식적 활동

분석은 계획을 세우는 것이고,
종합은 그 계획을 실행하는 것이다.
– 분석과 종합

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